수학의 큰 틀을 파악하기 위해서는 종횡무진 학습을 해야 한다. 종횡무진 학습이란 교과서의 단원순서에 따라 세로로 한 번 공부를 하고, 연관되는 단원의 흐름에 따라 가로로 다시 한 번 공부하는 방법이다. 종횡무진 학습법이 왜 중요한지 알아보고 활용법에 대해서 알아보자.

 

1. 종학습(세로 학습) : 교과 진도별 학습 

종학습은 교과서 단원 순서대로 진도를 나가는 학습방법이다. 수학에서 배우는 내용들은 여러 가지 하위 개념을 기초로하고 있다. 따라서 각 내용은 선후관계가 분명히 있기 때문에 먼저 배워야 하는 것과 나중에 배워야 하는 것이 정해져 있다. 가령, 이차방정식은 제곱근의 개념과 인수분해를 배워야지만 공부할 수 있는 단원이다. 또한, 일차방정식, 등식, 문자와 식(중1-1) 등의 개념도 정확하게 이해하고 있어야한다. 따라서 교과서는 이러한 각 개념들의 선후관계에 근거하여 단원 순서를 정해두었다.

 

2. 횡학습(가로 학습) : 단원별 연계 학습 

횡학습은 연관 단원별로 묶어서 공부를 하는 방법이다. 이를테면, 중학교 1학년때 처음 배우는 방정식은 중학교 2학년때 배우게 되는 연립방정식과 밀접한 연관이 있다. 뿐만 아니라 중학교 3학년때 배우는 이차방정식, 고등학교때 배우는 고차방정식 및 여러 가지 방정식으로 계속해서 연계되어 있다. 횡학습은 바로 이런 수학 전체 내용에서 여기 저기 흩어져 있는 단원들을 연관성이 높은 단원들끼리 묶어서 수학 전체의 큰 흐름을 보기 위한 학습이다.

수학 교과 과정의 단원 순서는 수학적인 개념이 이어지는 흐름과는 별로 상관이 없다. 현재 교과서의 단원 순서는 각 학년별로 알아야 할 내용들을 방정식, 함수, 평면 기하 등의 분야별로 나누어 정렬해놓은 것이다. 따라서 교과서 순서에 맞추어 수학을 공부한다면 분야별로 전개되는 내용의 흐름이나 단원 간의 유기적인 연관 관계를 놓치기 쉽다. 중/고등학교에서 배우는 수학에도 사실은 하나의 큰 줄거리가 있는데, 학년별로 교과서의 단원 순서대로 수학을 공부하다 보면 그런 줄거리를 파악할 수 없게 되고, 많은 학생들이 예전에 배운 내용이 잘 기억나지 않아 고생을 하게 되는 것이다.

수학의 큰 줄거리를 파악하기 위해서는 종횡무진 학습을 해야 한다. 종횡무진 학습이란 교과서의 단원 순서에 따라 세로로 한 번 공부를 하고, 연관되는 단원의 흐름에 따라 가로로 다시 한 번 공부하는 방법이다.

종횡무진 학습의 궁극적인 목표는 가로로 공부를 하며 하나의 큰 스토리를 이해하는 것이다. 큰 흐름을 이해하고 있다면 시간이 흘러 세부적인 사항을 조금 잊어버렸다 할지라도 필요한 부분만 찾아 본다면 금방 다시 기억해낼 수 있게 된다.

종횡무진 학습법을 잘 활용하게 된다면 전체 단원을 종학습을 하면서 순간적으로 횡학습을 할 수 있게 된다. 이를 통해 아주 효과적인 방법으로 부분적(단원별) 복습 및 선행학습도 가능하게 된다. 이차방정식으로 예를 들어, 이차방정식을 공부하면서 이차방정식과 직접 연관되어 있는 일차방정식을 다시 복습할 수 있고, 고등과정에서 배우게 되는 여러 가지 방정식을 연관지어 공부할 수 있게 된다.

그렇다면 종학습(세로 학습)을 하는 이유는 무엇일까?

각 단원들이 긴밀하게 연결되어 있고, 전 학년에서 배운 개념들이 그 다음 학년에서 쓰이기 때문에 처음부터 하나의 주제로 묶어서 공부할 수는 없다. 예를 들어 제곱근과 인수분해를 배우지 않으면 이차방정식의 내용을 제대로 이해할 수 없을 것이다. 따라서 세로로 공부를 하면서 기본적인 개념들을 이해하고, 또 어디서 무엇을 배우는지 등을 파악하여 가로로 공부하기 위한 준비를 해두는 것이 좋다.

본격적으로 가로로 수학을 공부할 때에는 하나의 큰 이야기를 스스로 만들어 나가는 것도 좋은 방법이다.

예를 들어, ‘도형의 방정식’에 대한 주제를 가지고 이야기를 만들어 보면 다음과 같다.

일차함수와 이차함수를 좌표평면 위에 나타내면 직선과 곡선이 된다. 직선이나 곡선 이외에도 원과 같은 간단한 평면 도형들을 좌표평면 위에 그리고, 그에 해당하는 도형의 방정식을 구할 수 있다. 이렇게 하면 기하학적인 문제들을 대수나 해석학 등을 이용해 해결할 수 있게 된다. 고등학고 2학년이 되면 타원, 포물선, 쌍곡선 등의 도형들과 도형의 방정식을 통해 공부하게 된다. 또한 공간상에 있는 구, 평면, 직선 등의 입체도형들도 공간좌표와 백터를 사용해 도형의 방정식으로 나타내게 된다.

이렇게 만들어진 이야기를 바탕에 두고, 구체적인 공식과 개념을 이해한다면 이 개념이 왜 필요한지, 이 공식이 왜 중요한 것인지 등을 알 수 있게 된다.

개념(선행) 학습은 종횡무진 학습에서 종학습으로 하는 것이 가장 좋은 방법이다. 개념(선행) 학습은 앞으로 배울 내용을 미리 당겨서 공부하는 것으로, 다음에 한 번 더 공부할 것이 전제로 되어 있다. 개념(선행) 학습으로 모든 내용을 100% 이해하려고 하는 사람도 없고, 현실적으로 한 번에 100% 이해하기란 불가능 하다. 개념(선행) 학습으로는 단원의 내용을 80% 정도 이해했다고 생각된다면, 다음 단원으로 넘어가야 한다. 전반적인 내용을 파악하게 되면, 처음엔 이해하기 어려웠던 내용들이 자연스럽게 이해되기 때문이다. 따라서 선행 학습으로 교과 과정의 순서에 맞추어 세로로 한 번 공부하며 기본 개념을 이해하고, 본 학습에 와서 연관 단원들을 묶어서 공부하면서 완벽히 이해하는 것이 가장 좋은 공부방법이다.

< 종횡무진 학습법 활용하기 >

1. 연관 단원 맵 그리기

가로로 학습을 하며 단원간의 연관 관계를 깊이 이해하기 위해서는 연관 단원 맵을 그려보는 것이 좋다. 연관 단원 맵이란 말 그대로 연관되어 있는 단원들끼리 화살표로 연결해 한번에 단원들간의 연관 관계를 파악할 수 있게 만든 수학 공부의 로드맵이다.
가로 학습을 하면서 한 단원, 한 단원씩 맵에 표시하고 화살표로 연결해 가면서 공부를 하게 되면, 나중에는 각 주제별로 커다란 맵이 완성될 것이다.
이렇게 연관 단원 맵을 그리고 나면 단원 간의 연관 관계에 대해 깊이 이해할 수 있고, 완성된 맵을 통해 수학의 흐름을 한눈에 파악할 수 있게 된다.

2. 복습단원 파악하기

수학을 공부하다 보면 이해하기 어려운 개념이나 공식을 많이 접하게 된다. 새로운 내용을 이해하지 못하는 가장 큰 이유는, 그 내용이 이해할 수 없을 정도로 어렵기 때문이 아니라, 그 내용을 이해하기 위해 알고 있어야 할 개념들을 잊어버린 경우가 대부분이다. 수학은 기초가 중요하다는 말은 이런 맥락에서 이해할 수 있다.

하지만 기초가 부족하다는 것을 알게 되었다고 하더라도 어디에서부터 다시 공부를 해야 할지 모르겠고, 그 많은 내용을 다 복습하자니 너무 막막한 것이 사실이다. 그래서 필요한 것이 단원 간의 연관 관계를 파악하는 것이다. 단원 간의 연관 관계를 파악해 두었다면, 지금 공부하는 내용이 어디로부터 왔는지를 알 수 있고, 이를 통해 어떤 과목을 복습해두면 좋을지도 파악할 수있다.

예를 들어 중학교 3학년 과정의 이차함수를 공부하는 데 어려움이 느쎠진다고 해보자. 함수 단원이므로 1학년부터 배웠던 함수를 다시 복습한다고 해도 충분하지 않다. 연관 관계를 잘 파악해보면 이차함수는 일차함수의 그래프(2학년)와 이차방정식(3학년)이 직접적으로 관련이 있으므로 이 두 단원을 복습해야 한다.

이렇게 단원간의 연관 관계를 파악하고 있다면 이 단원을 이해하기 위해 필요한 개념이 무엇인지, 어떤 단원을 복습해야 하는지를 파악할 수 있는 것이다.

수학은 하나의 개념을 확장하고 일반화하는 과정의 연속이다. 예를 들어 우리는 초등학교 때 자연수, 분수, 소수에 대해 배운다. 중학교에 올라오면 음수의 개념을 배우고, 정수와 유리수로 수의 범위를 확장한다. 중학교 3학년이 되면 제곱근을 배우고, 자연스럽게 무리수를 익힘으로써 실수의 체계를 완성한다. 그리고 고등학교 1학년이 되면 허수를 배움으로써 하나의 완벽한 수 체계인 복소수에 도달하게 된다. 이렇게 확장되는 수학의 개념들을 연관 단원을 파악함으로써 한 눈에 알아볼 수 있다.

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